Модели управления рисками катастроф - январь 2008 г.

Котлобовский И.Б., Мосягина М.В.

Организации: Swiss Re

Актуальные и потенциальные убытки от природных и техногенных катастроф заставляют исследователей искать новые пути управления такими рисками. Исследуются методы распределения рисков между страхователем, страховым и перестраховочным рынком и рынками капитала. В статье рассмотрены некоторые математические модели, описывающие возможные варианты распределения риска. При этом проанализированы как методы страховых рынков — страхование, перестрахование, страховые пулы, так и возможность выхода на рынки капитала — через катастрофические бонды, инвесторов и участие государства. Рассмотрена связь различных средств управления рисками катастроф и сопутствующих рисков: морального и базисного рисков, риска неплатежа. При рассмотрении методов переноса рисков на рынки капитала подробно описана структура катастрофических бондов: схема выпуска, виды бондов, виды событий, инициирующих выплату, и т.д. Приведен обзор рынка катастрофических бондов и история развития данного средства управления риском. Статья содержит обширный список литературы по проблеме управления рисками катастроф и, в частности по использованию рынков капитала.

Введение

В последние десятилетия постоянно увеличивались потери, связанные с природными и техногенными катастрофами.

В 2007 г., поданным Swiss Re Sigma ([16]), общие потери от катастроф составили 70 миллиардов долларов, они унесли жизни 21500 человек, Около 40% всех потерь были застрахованы, и страховые убытки составили 27,6 млрд долл. При этом на природные катастрофы пришлось 23,5 млрд долл. страховых убытков.

Наиболее крупные убытки в 10 млрд долл. нанес зимний шторм Курилл в Германии. Великобритании, Бельгии и Нидерландах (страховые выплаты составили 6,1 млрд долл.), летнее наводнение в Великобритании (убытки — 7,2 млрд долл., страховые выплаты — 4,8 млрд долл.), a также наводнение в Мексике (убытки — 4,5 млрд. долл., страховые выплаты — 500 млн долл.). Самые крупные с 1970 г. застрахованные убытки произошли в 2005 г. (ураган Катрина — 68,5 млрд долл.) и в 1992 г. (ураган Эндрю — 23,6 млрд долл. Всего за 1970-2007 гг. 7 катастроф принесли страховщикам убытки свыше 10 млрд долл. каждая и 40 — свыше 2 млрд долл.

Все большее значение приобретают убытки от техногенных катастроф. Атаки террористов 11 сентября 2001 г. привели к страховым выплатам в размере $22 млрд. Затраты страховщиков по покрытию рисков загрязнения окружающей среды в случае выброса токсичных отходов по некоторым оценкам могут достигать $30-50 млрд. Таким образом, финансирование природных и техногенных катастроф является важной проблемой как для страхового рынка, так и для рынков капитала.

Использование страхования и перестрахования в качестве средства управления крупными и редкими рисками может привести к аккумуляции убытков, большому количеству неудовлетворенных претензий и неплатежеспособности многих страховщиков и перестраховщиков.

Потенциальные потери от природных и техногенных катастроф заставляют исследователей искать возможности эффективного распределения рисков катастроф между страхованием, перестрахованием и рынками капитала. Проблема возникает из-за того, что катастрофические риски не могут быть диверсифицированы с помощью страхования. Чтобы восполнить недостаток вместимости страхового рынка, было предложено два пути решения. Первая возможность — обязательное общественное (государственное) обеспечение страхования. Этот способ основан на возможности государства распределить убытки между гражданами. Такая система была введена во Франции в июле 1982 года, когда парламент принял закон об обязательной компенсационной системе для природных катастроф (подробнее об используемой во Франции системе "Cat.Nat." см. [15]). Вторая возможность — разработка финансовых инструментов для передачи рисков катастроф финансовым инвесторам на рынки Kauvuaixa, которые имеют огромную финансовую вместимость (см., например, [12], [18], [25]).

Примером таких финансовых инструментов — страховых производных инструментов — могут служить катастрофические бонды.

Катастрофические бонды (cat bonds) были разработаны в середине 1990-х годов для облегчения прямой передачи риска катастроф от страховщиков, перестраховщиков и корпораций финансовым инвесторам. Они были созданы для защиты от финансовых потерь, вызванных крупными природными катастрофами (такими, как ураган Катрина), предоставляя альтернативу или дополнение традиционному перестрахованию.

На начальном этапе развития этого рынка компаниям, выпускающим бонды, не хватало информации о различиях между рынками капитала и перестрахования, а инвесторов было мало и им требовалось дополнительное обучение для начала работы со страховыми бондами. В настоящее время на рынке катастрофических бондов работает большое количество опытных инвесторов. Свой вклад в развитие рынка внесли также рейтинговые агентства и фирмы, специализирующиеся на моделировании, анализируя все происходящие сделки.

Время действия бонда, вначале колебавшееся от года до 10 лет, в последнее время традиционно составляет от 2 лет до 4 лет. Такой период позволяет выпускающей бонд компании получить покрытие на несколько лет, но при этом иметь достаточно короткий временной горизонт для прогнозирования изменений в портфеле и управления риском. Транзакционные издержки при этом распределяются на несколько лет.

С точки зрения инвестора, период в три года не является избыточно долгим (в связи с не ликвидностью рынка в целом) и позволяет избежать риска реинвестирования. В дополнение, почти все катастрофические бонды имеют компонент с плавающей процентной ставкой, призванной минимизировать риск изменения процентной ставки.

Выпускающие компании предпочитают покрытие большого числа рисков одним бондом, так как это уменьшает транзакционные, издержки и позволяет территориально распределить риски. Инвесторы же обычно предпочитают покрытие одного риска, что дает им большую свободу в составлении рискового портфеля. В настоящее время производится выпуск как бондов, покрывающих один риск, так и большее число рисков.

Для инициации выплат по бонду большинство страховых и перестраховочных компаний изначально предпочитали триггеры (инициирующие события), основанные на убытках выпускающей компании. Это означает, что выплаты после катастрофического события напрямую зависят от реальных потерь компании. Этот подход больше всего напоминает традиционное перестрахование. При этом от страховщика (перестраховщика) требуется открытие информации о принятых рисках, что может быть нежелательно, а от инвестора — понимание структуры портфеля страховщика или перестраховщика. Также в этом случае существует опасность морального риска. (Моральный риск в данном случае возникает из-за того, что ответственность за отбор риска и урегулирование ущерба лежит на выпускающей компании, которая, имея защиту от ущерба, предоставляемую инвестором, может подходить к данным вопросам менее ответственно.).

Как результат выявления недостатков триггеров, основанных на реальных убытках, появилось большое число сделок с использованием индексных триггеров. Это может быть, например, физический параметр произошедшей катастрофы или показатель, характеризующий состояние всей отрасли. Со стороны инвестора, выплата, связанная со свободным от манипуляций выпускающей компании индексом, позволяет избежать асимметрии информации. Выпускающей компании при этом не приходится раскрывать информацию о принятых рисках. Основной проблемой в этом случае становится базисный риск выпускающей компании. (Базисный риск — это риск, который возникает из-за несоответствия показателя (индекса) и реальных потерь компании. К примеру, сила землетрясения может быть невелика, но конкретная компания понесет большие убытки.). В последнее время на рынке наблюдается тенденция в сторону увеличения использования индексов и изменения их структуры для уменьшения базисного риска. Основные типы индексов — параметрический, индекс потерь отрасли, моделируемый (modeled-loss) и смешанный (их комбинация).

При использовании параметрического индекса, выплаты вызываются катастрофическим событием с определенными физическими параметрами (к примеру, сила землетрясения по шкале Рихтера).

Индекс потерь отрасли основан на оценке убытков страхового рынка в целом при возникновении катастрофы.

Моделируемый индекс получается с помощью подстановки физических параметров события в модель, прогнозирующую потери отрасли.

Также возможно использование смешанных триггеров, например, для различных событий внутри одного бонда либо последовательно при наступлении одного события.

Типичная структура катастрофического бонда такова (схема 1): специализированная компания (SPV, Special Purpose Vehicle) продает ценные бумаги (катастрофические бонды) инвесторам и заключает перестраховочный контракт с компанией, выпускающей бонд. Схема 1.

Доход от выпуска бонда инвестируется в краткосрочные ценные бумаги с высокой процентной ставкой и депонируется на доверительный счет, обеспечивающий сделку. Реальная выручка обменивается на LIBOR (London Interbank Offered Rate).

С помощью механизма обмена, бонды становятся ценными бумагами с плавающей процентной ставкой, что позволяет большей частью устранить процентный риск (риск потерь, вызванных уменьшением стоимости процентных активов в результате увеличения средне-рыночных процентных ставок).

В течение срока действия бонда, проценты, выплачиваемые SPV инвесторам, состоят из двух частей: премия от выпускающей компании и поступления по LIBOR на основной капитал бонда, которые гарантированы стороной обмена.

По завершении срока действия бонда, при условии, что покрываемое им событие не произошло, основной капитал возвращается инвестору.

В 2006 г. было выпущено катастрофических бондов на сумму 4,7 млрд долл., что более чем в два раза превышает предыдущий рекорд — показатель 2005 г. (2 млрд долл.) ([16]). Общий объем рискового капитала на конец 2005 года составил 4,9 млрд долл. В 2006 году этот показатель составил 8,5 млрд долл. В целом, с 1997 г. было выпущено 89 катастрофических бондов на сумму 15,4 млрд долл. На рынок в 2006 г. вышло 7 компаний, впервые выпускающих катастрофические бонды. Два выпуска бондов были инициированы не страховыми организациями. В 2006 г. были секьюритизированы катастрофические события в Австралии, Мексике и Японии, что отражает стремление инвесторов диверсифицировать свой портфель катастрофических бондов. Процесс выпуска бондов становится более стандартизированным, но при этом выпускающие компании стремятся к инновациям, например к использованию смешанных триггеров.

Более подробную информацию о катастрофических бондах смотри, например, в работах [8], [22], [21], [17], [19], [11].

Катастрофические бонды позволяют осуществлять покрытие не только рисков по имущественному страхованию и страхованию ответственности, но и по страхованию жизни ([16]).

Сделки по риску экстремальной смертности позволяют страховщикам и перестраховщикам жизни снизить подверженность риску экстремальной смертности. Если в течение действия сделки уровень смертности в регионе подскочит (например, в результате эпидемии, войны или акта терроризма), инвесторы лишаются основного капитала бонда, который идет на выплаты по страхованию жизни.

Подобные сделки зависят только от уровня смертности населения, и в меньшей степени от причины смерти, и, таким образом, позволяют покрывать риски терроризма и эпидемий, которые обычно исключены из стандартных договоров перестрахования.

Первый открытый случай секьюритизации риска экстремальной смертности — сделка Vita Capital Ltd. с выпускающей компанией Swiss Re в 2003 г. (на сумму 400 млн долл.). В 2005 году был выпущен бонд Vita Capital II с покрытием 362 млн долл. В 2006 г. было выпущено два бонда с покрытием 598,5 млн долл. В настоящее время имеющиеся на рынке бонды основаны только на параметрических триггерах (изменение уровня смертности), что подвергает выпускающую компанию высокому базисному риску.

Примером применения катастрофических бондов при защите от риска терроризма может служить бонд, выпущенный Golden Goal Finance Ltd. для покрытия риска отмены Кубка Мира по футболу ФИФА в 2006 г. Цена, которую компания заплатила за выпуск бондов на сумму $260 млн, была меньше, чем минимальная стоимость страховой защиты. Весь выпуск бондов был выкуплен, и инвесторы получили прибыль. (информация с сайта http: //www.canadianunderwriter.ca/.). Информацию о защите от риска терроризма с помощью финансовых инструментов можно получить, например, в работах [4], [5] и [7].

Контракты, связанные с индексом потерь от катастроф (индексные страховые контракты), представляют интерес для финансовых инвесторов из-за их незначительной корреляции с рыночными рисками. Таким образом, они дают возможность для более эффективного выбора портфеля активов. Но события 11 сентября 2001 года продемонстрировали более сильную зависимость между страховыми и инвестиционными рисками, чем предполагалось. Беспрецедентный одновременный шок для страховых компаний со стороны активов и собственности подчеркнул, что значительная зависимость между страховыми и инвестиционными рисками может ограничивать возможности инновационных финансовых продуктов в предоставлении новых способов передачи риска. Можно предположить, что этот эффект не ограничивается случаями террористических атак. Необычные природные катастрофы могут также привести к непрямым нарушениям экономической активности в значительном масштабе в дополнение к прямому урону ([1]). Оценка распределения убытков при катастрофах является очень сложной задачей, и недостаток общепринятых моделей оценки приводит к тому, что инвесторы неохотно покупают эти продукты. Со стороны страховых и перестраховочных компаний основными помехами развитию рынка страховых производных инструментов являются высокая рисковая премия и недопустимый уровень базисного риска.

Таким образом, необходимо исследование способности альтернативных решений по передаче риска (ART, alternative risk transfer, см. [2], [6], [24]), цель которых — перенести воздействие катастроф напрямую на рынок капитала, дополнить ограниченную емкость рынка страхования и перестрахования в случае покрытия убытков от катастроф.

Данная статья представляет собой обзор математических моделей управления рисками катастроф для компаний, страховщиков и перестраховщиков.

Mahul ([13]) исследует возможность создания оптимального правила распределения риска катастроф между не расположенной к риску фирмой и носителем риска. Для этого страховые убытки разлагаются на индивидуальную (диверсифицируемую) и системную (не диверсифицируемую) компоненты. (К примеру, для риска землетрясения системной компонентой, оказывающей влияние на всех страховщиков, действующих в данной области, может быть сила землетрясения по шкале Рихтера). Автор строит переменную стратегию с участием, в которой системный риск фильтруется через контракт с полным участием страхователя, где переменная премия базируется на реализации системной компоненты убытка, а затем переносится на рынки капитала через производный контракт. Интерес представляет ситуация, когда премия корректируется по итогам катастрофического события. Проведенный анализ основан на двух допущениях. Во-первых, контракты для борьбы с системной компонентой страхового риска должны быть доступны на финансовых рынках. Во-вторых, страховые стратегии с участием переменной премией не должны быть подвержены риску неплатежа (страхователь всегда согласен полностью заплатить любую измененную постфактум премию, что далеко не всегда возможно в реальности). Полученная модель также применяется к комбинации из кэптивного страхового контракта и катастрофического бонда.

При использовании различных триггеров для инициации выплаты по страховым производным инструментам возникает опасность базисного и морального риска. Richter ([20]) исследует соотношение между базисным риском и риском неплатежа при управлении рисками катастроф с помощью страхования (перестрахования) и катастрофических бондов. (Анализ различных стратегий управления рисками катастроф в связи с возникающими при этом сопутствующими рисками дан также в работе [10].).

Mahu и Wright ([14]) рассматривают управление рисками катастроф внутри страхового пула в зависимости от масштаба страхового события. Внутри пула также рассматривается схема с корректировкой премии по итогам реализации катастрофического события и анализируется риск неплатежа участника пула в этом случае.

Ниже рассматриваются следующие модели: страховой контракт с возможностью участия страхователя и его комбинации с контрактом без участия, альтернативные решения по передаче риска: кэптивы и страховые ценные бумаги, компромисс между кредитным и базисным рисками в случае приобретения перестраховочного контракта и катастрофического бонда, выплата по которому инициируется внешним индексом, деление риска в страховых объединениях и оптимальное размещение риска в случае катастрофического события.

Страховой контракт с участием

Пусть фирма обладает неслучайным начальным благосостоянием , которое подвергается риску убытка , где 0 у для всех у. (Здесь и далее обозначает случайную величину, а у — ее реализацию.). Убыток может быть разбит на системную компоненту и индивидуальную компоненту с помощью неслучайного уравнения:

 (1)

где:

Два источника риска, влияющие на индивидуальный убыток, предполагаются независимыми. Разложение (1) определяется группой риска, в которой находится фирма. Например, для фирм, находящихся в местности, подверженной землетрясениям, определим как индивидуальную подверженность риску землетрясения. Риску будут подвержены все члены группы (например, это может быть интенсивность землетрясения). Риск будет отражать влияние индивидуальных параметров фирм, которые можно считать независимыми для различных компаний. Второй источник риска может быть (частично) диверсифицирован внутри группы риска, в то время как первый недиверсифицируем, по крайней мере, внутри группы. Фирма, не расположенная к риску, может заключить два типа страховых контрактов: контракт без участия и контракт с полным участием. Контракт без участия характерен для традиционных договоров страхования. Он описывается парой

,

где Q — фиксированная премия, а функция определяет размер возмещения при реализации . График возмещений предполагается неотрицательным: а премия предполагается неубывающей функцией от ожидаемого возмещения:

, (2)

где d(0) = 0 и для всех s.

, (3)

Контракт с полным участием описывается парой

,

где график возмещений /( , ) также предполагается неотрицательным: Страховая премия непостоянна и зависит от реализации системной компоненты риска.

.(4)

Мы предполагаем, что она основывается на ожидаемом возмещении, выплачиваемом страховщиком, где с (0) = 0 и для всех s.

, (5)

Премия, таким образом, корректируется постфактум. К примеру, страхователь может сначала выплатить премию, основанную на ожидаемом значении системного риска, Р(Е ). Впоследствии премия корректируется в зависимости от реализации системной компоненты х. Если Р(х) Р(Е ), то страхователь получает дивиденды, в противном случае страховщик получает доплату премии. Перед фирмой стоит задача определить график возмещений и премию для контрактов с участием и без, максимизирующие ожидаемую полезность:

. (6)

при условиях (2)-(5), где u — дважды дифференцируемая функция полезности, . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 Оптимальный график выплат для контрактов с участием и без участия /* и J*, являющихся решением уравнения (6), принимает следующую форму: (I) Если c(s) < d(s) для всех s, то существуют D1 0 и D2 0 такие, что

 и
.

(II) Если c(s) > d(s) для всех s, то существует такое, что

 и
.

Доказательство предложения можно найти в статье [13]. Интуитивный смысл предложения 1 следующий. Предположим, что издержки выше при контракте без участия, чем при контракте с полным участием. Такое предположение верно, если при обоих вариантах административные издержки одинаковы, но страховая премия контракта без участия подвержена влиянию рисковой надбавки. Это может быть мотивировано наличием системной компоненты риска, которая не может быть диверсифицирована внутри страховой компании. Оптимальная страховая стратегия в таком случае следующая (схема 2).

Схема 2.

Фирма покупает контракт с полным участием, чтобы (частично) покрыть индивидуальную компоненту своего риска. Такой контракт дает фирме полную страховую защиту от риска поверх франшизы, в то время как она несет на себе весь системный риск через меняющуюся страховую премию. Второй шаг — использование контракта без участия для (частичного) покрытия риска с помощью полного страхования переменной страховой премии контракта с участием с фиксированной франшизой. Предположим, что издержки при полном участии выше, чем при контракте без участия. Это может случиться, если административные издержки и рисковая надбавка в сумме ниже, чем административные издержки контракта с участием. Тогда фирма купит контракт без участия, получая полное страхование своего риска поверх фиксированной франшизы. Заметим, что в обоих случаях возникает переменная франшиза. Уровень франшизы виден из следующего предложения. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2 Предположим, что c(s) < d(s) для всех s. (I) При контракте с полным участием, оптимальная франшиза равна нулю, если премия актуарно справедлива (Здесь и далее под актуарной справедливостью страховой премии подразумевается выполнение основного предположения актурной математики о равенстве премии ожидаемому возмещению) (c'(s) = 1 для всех s), и положительна, если премия несправедлива (c'(s) > 1 для вcex s). (II) При контракте без участия, оптимальная франшиза равна нулю, если премия актуарно справедлива ( (s) = 1 для вcex s), и положительна, если премия несправедлива ( (s) > 1 для вcex s). Предложения 1 и 2 характеризуют оптимальную страховую стратегию компании для контрактов с полным участием и без участия. Рассмотрим пример применения данной модели. Пусть между двумя компонентами риска установлено мультипликативное соотношение. Тогда /(х, ) = х при х > 0. В случае страхования от природных катастроф, соотношение х = 1,5 будет означать, что все убытки увеличатся при катастрофе на 50%. В случае сельскохозяйственного страхования может означать недостачу продукции из-за локальных погодных явлений (количество), а — цену на урожай. Оптимальная политика в таком случае /*(x, ) = max (x — ), а убыток страхователя после выплаты окончательной премии

 (7)

Таким образом, для достаточно больших индивидуальных убытков, , потери фирмы зависят только от системной части убытка через переменную премию. Системный риск при этом фильтруется через контракт с полным участием. Предположим, что контракт продается по справедливой цене. Из предложения 2, оптимальная политика /*(х, ) = х , а переменная премия Р(х) = хЕ . Как следствие, оптимальное возмещение премии /*(х, ) — Р(х) = х( — Е ), а убыток после возмещения равен хЕ . Таким образом, фирма полностью застрахована от индивидуальной компоненты риска и полностью подвержена системному риску. Оптимальный контракт без участия — Этот контракт дает полную защиту от системного риска поверх положительной франшизы. Если контракт продается по справедливой цене, фирма полностью застрахована от убытка. Два вида контрактов можно скомбинировать, чтобы получить так называемые контракты с переменным участием. В наших обозначениях, график возмещений будет равен , a премия . Таким образом, мы позволяем фирме выбрать форму своего участия в контракте через выбор графика возмещений. Как видно из предложений 1 и 2, оптимальная политика участия в этом случае будет удовлетворять условию:

, (8)

а

,

где:

.

Альтернативные решения по передаче риска Альтернативные решения по передаче риска (ART) призваны увеличить эффективность управления рисками, расширяя спектр страховых рисков и используя рынки капитала для дополнительной финансовой емкости (см. [24], [2]). Две важные формы подобных решений — кэптивы и страховые производные инструменты. Они основаны на принципе взаимности и принципе передачи риска, соответственно. Кэптив — страховая или перестраховочная компания, принадлежащая одной или нескольким компаниям, но не являющаяся активной страховой фирмой. Ее задача — страхование рисков материнской компании. Таким образом, кэптив является средством страхования частых и несильных рисков и, в то же время, используется как инструмент финансирования для специфических редких рисков, возможности покрытия которых на рынке перестрахования ограниченным или недоступны. При использовании страховых производных инструментов и передаче риска на рынки капитала эффективная стратегия компании — компромисс между базисным риском (т.к. индексы не идеально коррелируют с убытком), моральным риском, транзакционными издержками и риском встречной стороны. Рассмотрим модель, комбинирующую кэптивы и производные инструменты для эффективного управления катастрофическими убытками фирмы. Пусть не расположенная к риску фирма имеет кэптивный контракт с полным участием . Она также может купить страховые производные инструменты, базирующиеся на системной компоненте риска . Обозначим возмещение и премию по этому финансовому контракту через К(-) и Q соответственно. Предположим, что финансовый контракт продается по цене, пропорциональной ожидаемому возмещению:

.

В этом случае стратегия без участия дает покрытие только системного рисках. Следуя той же логике, что и в предложении 1, можно показать, что оптимальная стратегия хеджирования состоит в том, чтобы застраховать индивидуальную компоненту риска через контракт с полным участием, предложенный кэптивом, а системную компоненту — через производный контракт на финансовых рынках (схема 3).

Схема 3.

Для рассмотренного примера, в случае мультипликативности системного и индивидуального риска оптимальная политика с полным участием удовлетворяет условию:

, (9)

где , если

,

иначе оптимальный контракт, основанный на индексе, принимает вид

 (10)

где = 0, если , и , иначе график возмещений и премия при оптимальной политике с переменным участием будут иметь вид

.

Для всех х таких, что , первая производная контракта, основанного на индексе, равна:

 (11)

Где — функция распределения риска , . Вторая производная

 (12)

Из уравнения (11) видно, что оптимальный финансовый контракт является неубывающей функцией индекса. Из уравнения (12), видно, что она выпукла, если функция издержек контракта с полным участием линейна или выпукла . Таким образом, функция издержек играет центральную роль при определении выпуклости оптимального страхового производного контракта. Котлобовский Игорь Борисович, заведующий кафедрой управления рисками и страхования экономического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова Мосягина Мария Вячеславовна, аспирант кафедры управления рисками и страхования экономического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова Окончание в следующем номере.

Управление риском № 2, 2008 г., c.36-42